2017年小升初数学知识点:鸡兔同笼问题

2017-03-15 00:00:00少芬 小升初

  为了能更好更全面的做好复习和迎考准备,确保将所涉及的考点全面复习到位,让孩子们充满信心的步入考场,yjbys小编现特准备了小升初数学知识点——鸡兔同笼问题。希望对各位考生有帮助!

  基本概念:鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;

  基本思路:

  ①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):

  ②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;

  ③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;

  ④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。

  基本公式:

  ①把所有鸡假设成兔子:鸡数=(兔脚数×总头数——总脚数)÷(兔脚数——鸡脚数)

  ②把所有兔子假设成鸡:兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)

  关键问题:找出总量的差与单位量的差。

  例、笼中有若干只鸡和兔,它们共有50个头和140只脚,问鸡兔各有多少只?

  解法1 假设法

  假设一个未知数是已知的,比如假定50个头全是兔,则共有脚(4×50=)200(只),这与题中已知140只不符,多出(200-140=)60(只),多的原因是鸡当兔后每只鸡多算了2只脚,所以鸡的只数是(60÷2=)30(只),则兔的只数为(50-30=)20(只)。

  解法2 公式法

  让每只鸡呈金鸡独立之状,每只兔呈玉兔拜月状,着地的脚数之和有(140÷2=)70(只),其中鸡的头数与脚数相等,由于每只兔的脚比头数多1,因此兔的头数为(70-50=)20(个),即兔有20只,则鸡有(50-20=)30(只)。

  实际上我们用了如下的公式。

  脚数和÷2-头数和=兔子数。

  典型例题

  例【1】 鸡兔同笼,共有45个头,146只脚。笼中鸡兔各有多少只?

  分析 题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子,那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚,我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢?因为一只鸡是两只脚,而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔,就要减少2之脚,那么,34只脚里包含多少个2只脚,也就是我们把多少只鸡当成了兔子,显然34÷2=17(只)。所以鸡有17只,兔子有28只。当然,我们也可以把45只都假设成是鸡,把以上问题反过来考虑。

  解法一 假设全是兔子。

  (4×45-146)÷(4-2)=17(只)——鸡

  45-17=28(只)——兔

  解法二 假设全是鸡。

  (146-2×45)÷(4-2)=28(只)——兔

  45-28=17(只)——鸡

  答:鸡有17只,兔子有28只。

  例【2】 盒子里有大、小两种钢珠共30个,共重266克,已知大钢珠每个11克,小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个?

  分析 假设全部都是大钢珠,则共重:11×30=330(克);

  比原来的克数重:330-266=64(克);

  小钢珠的个数是:64÷(11-7)=16(个)

  大钢珠的个数是:30-16=14(个)

  同样,也可以假设全部都是小钢珠。算法一样。

  解法一 假设全是大钢珠。

  (30×11-266)÷(11-7)=16(个)——小钢珠

  30-16=14(个)——大钢珠

  解法二 假设全是小钢珠。

  (266-30×7)÷(11-7)=14(个)——大钢珠

  30-14=16(个)——小钢珠

  例【3】 一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张,总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张?

  分析 先假定买来的100张邮票全部是20分一张的,那么总值应是2000分,比原来的总值多120分。而多的120分,是把10分一张的看作是20分的一张的,每张多算10分。因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。

  解 10分一张的邮票的张数有:

  (2000-1880)÷(20-10)=12(张)

  20分一张的邮票张数有:

  100-12=88(张)

  答:10分一张的邮票有12张,20分一张的邮票有88张。

  例【4】 学校买来3个排球和2个足球,共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元?

  分析 根据“每个足球比每个排球贵3元”可知,当把买2个足球换成买2个排球时,买球共花的钱就会比原来少6元,现在买的是(3+2)个排球,因此,可以求出每个排球的价钱。

  解 每个排球的价钱:

  (111-3×2)÷(3+2)=21(元)

  每个足球的价钱:

  21+3=24(元)

  答:每个排球的价钱是21元,每个足球的价钱是24元。

  财务小管家:1. 瓷器商店委托搬运站运送800只花瓶,双方商定每只运费是0.35元,如果打破1只,不但不计运费,而且要赔偿2.50元,结果运到目的地后,搬运站共得运费268.6元,求打破了几只花瓶?

  2. 蓝墨水和红墨水,以前都是3角钱一瓶,王营小学每学期都花12元买若干瓶.现在每瓶蓝墨水涨价5分,每瓶红墨水涨价3分,虽然买的两种墨水瓶数还和各学期相等,但比每学期都多付1.8元.该校每学期买两种墨水各多少瓶?

  例【5】 买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元,问两种笔每支各多少元?

  分析 根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”,可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”,买3支钢笔的价钱可以买(4×3)支圆珠笔。这样,我们就可以将买钢笔的支数转换为买圆珠笔的支数了。从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。

  解 一支圆珠笔的价钱:

  5+(8÷2)×3=17(支)

  17÷17=1(元)

  一支钢笔的价钱:

  1×8÷2=4(元)

  答:一支钢笔4元,一支圆珠笔1元。

  新型鸡兔同笼

  某些问题中的量可能并不是鸡与兔,但是其本质仍是鸡兔同笼问题.比如下面两个问题.我们都采用第二种假设与置换法来解决.

  例题1:在一个停车场上,汽车、摩托车共停了60辆,一共有190个轮子。其中每辆汽车有4个轮子,每辆摩托车有2个轮子,求停车厂上汽车和摩托车各有多少辆?

  解:假设60辆都是汽车,则有轮子(60×4=)240个,比已知条件多出(240-190=)50个,这是因为每一辆摩托车被假设为汽车时,就多出2个轮子,所以多出来的50轮子中包含多少个2个轮子,就是多少辆摩托车被假设为汽车的辆。

  摩托车:(60×4-190)÷(4-2)=25(辆)

  汽车:60-25=35(辆)。

  例题2:某小学举行一次数学竞赛,共15道题,每做对一题得8分,每做错一题倒扣4分,小明得72分,他做对多少道题?

  解:假设15道全对了,则得(8×15=)120分,比已知条件多(120-72=)48分,这是因为每一道错题假设为对题时,相差(8+4)=12分,所以求出来的48分中包含几个12,就是做错题的数量。

  做错题:(8×15-72)÷(8+4)=4(道)

  做对题:15-4=11(道)。

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